MATEMATICAS
MATEMATICAS NOVENO 2021
NOVENO: Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.Galileo Galilei (1564-1642) Físico y astrónomo italiano.
Objetivos:
- Presentadas varias sucesiones cada estudiante identificará, sin equivocarse aquellas que son sucesiones aritméticas.
- Dada la fórmula del n-ésimo término de la sucesión aritmética, cada estudiante determinará, sin error, cualquier término de la misma.
- Dada una sucesión aritmética, cada estudiante determinará correctamente la fórmula para el n-ésimo término de la misma.
Introducción
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden. Las aplicaciones de las sucesiones son incontables. Se utilizan abundantemente para demostrar los teoremas y las propiedades de la topología matemática, y en la muy conocida demostración del número pi.
Definición
Podemos
definir una sucesión aritmética de la siguiente manera.
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Definición: (Sucesión Aritmética) Es una secuencia de números, en la cual la diferencia entre dos términos consecutivos es una constante d, excepto el primer término que es dado. El valor de la constante d puede ser positivo o negativo. |
Ejemplos:
La sucesión: s = 2, 5, 8, 11, 14, 17, ··· Es
un ejemplo claro de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre dos términos consecutivos nos da una constante d de valor 3.
La sucesión: s = -6, -2, 2, 6, 10, 14, ··· Es
un ejemplo claro de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre dos términos consecutivos nos da una constante d de valor 4.
La sucesión: s = -1, 5, 11, 16, 22, 28, ··· No es un ejemplo de una sucesión aritmética, dado que la diferencia entre el tercer y cuarto término nos da una constante d = 5 diferente al valor de la otra constante con los otros téerminos que es d = 6.
Cuando hablamos de sucesiones aritméticas es importante definir la notación utilizada.
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Notación: (Sucesión
Aritmética)
a(1)
= primer término de la sucesión El n-ésimo término de una sucesión aritmética es la regla que determina como se calculan los términos de la misma. |
Encontrando el N-ésimo Término
Cuando se habla del N-ésimo Término de una sucesión aritmética nos referimos a la regla o fórmula que rige el patrón que siguen todos los términos de la misma. Para encontrar esta fórmula debemos seguir los siguientes pasos:
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Encontrando
el N-ésimo Término |
La fórmula para el término general de una sucesión aritmética es:
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a n = a 1 + n - 1 · d |
donde a(n) es
el término deseado, a(1) es
el primer término y d es
la constante o diferencia común
Utilicemos los siguientes ejemplos para tener una idea más concreta de como encontrar el N-ésimo Término de una sucesión.
-
Supongamos que se quiere
encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: 8 , 11 , 14 , 17 , 20 , 23 , 26 , ...
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
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Encontrando
el N-ésimo Término
podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es:
3.
Verifica: |
- Asi encontramos el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por: a(n) = 8 + (n - 1)·3.
-
Supongamos que se quiere
encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: -13 , -19 , -25 , -31 , -37 , -43 ,...
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
|
Encontrando
el N-ésimo Término
podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es:
3.
Verifica: |
- Asi encontramos el N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:-13 + (n - 1)·(-6).
-
Supongamos que se quiere
encontrar el N-ésimo Término de la sucesión: -7 , -1 , 5 , 11 , 17 , 23 ,...
Para hacer esto seguimos los pasos anteriores.
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Encontrando
el N-ésimo Término
podemos determinar a(1) tomando directamente el primer término de la sucesión.
Por lo tanto, el término general de la sucesión es:
3.
Verifica: |
-
Asi encontramos el
N-ésimo Término de la sucesión provista viene dado por:-7 + (n - 1)·(6).
La siguiente aplicación interactiva te provee una guia para encontrar el n-ésimo término de sucesiones aritméticas, presiona el siguiente botón para iniciar la misma.
Encontrando Términos de una Sucesión Aritmética
Es muy común que se nos pida encontrar un término en particular de una sucesión aritmética. Si se nos provee el N-ésimo Término de la sucesión y se nos pide encontrar un término en particular debemos seguir el proceso de sustitución. Aprendimos a sustituir en la lección (hay que incluirla). Los siguientes ejemplos pueden ayudarte a refrescar la idea.
- Suponga que el N-ésimo Término de una sucesión aritmética viene dado por:
a n = 2 n - 3
Encuentre el primer, segundo y quinto término.
- Para encontrar el primer término sustituimos en la fórmula dada con n=1 y obtenemos lo siguiente:
a n = 2 n - 3 ⟶ a 1 = 2 · 1 - 3 = -1
- Para encontrar el segundo término sustituimos en la fórmula dada con n=2 y obtenemos lo siguiente:
a n = 2 n - 3 ⟶ a 2 = 2 · 2 - 3 = 1
- Para encontrar el quinto término sustituimos en la fórmula dada con n=5 y obtenemos lo siguiente:
a n = 2 n - 3 ⟶ a 5 = 2 · 5 - 3 = 7
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